PIRÂMIDE

Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados do polígono da base.

Os segmentos AV, BV e CV são as arestas laterais da pirâmide.
Os pontos A, B, C e V são os vértices.
Os triângulos VAB,VBC e VCA são as faces laterais.
O triângulo ABC é outra face da pirâmide e constitui a base.
A distância do ponto V ao centro da base constitui a altura da pirâmide.

CURIOSIDADE: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

ELEMENTOS DA PRÂMIDE

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
7. Apótema: É a altura de cada face lateral.
8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Altura, apótema da base e apótema da pirâmide

h: altura da pirâmide
m’: apótema da pirâmide
m: apótema da base

Pelo teorema de Pitágoras temos:
m’² = h² + m²

Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:

A(r) = P.a /2

onde P: perímetro do polígono e a: apótema do polígono.

Área lateral

É a soma de todas as áreas laterais.

Área total
Soma da área lateral com a área da base.

A_t = A_l + A_b

Volume
O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:

V = 1/3.A(b).h

onde A(b): área da base (depende do polígono) e h: altura da pirâmide.

Observação: O tetraedro regular é uma pirâmide regular que apresenta as quatro faces congruentes e as seis arestas também congruentes.

QUESTÕES DE VESTIBULARES

1) (PUC-RS) Uma piramide quadrangular regular com 12 cm e altura e 10 cm de aresta da base tem área total, em centímetros quadrados, igual a:

a) 360

b) 280

c) 260

d) 180

e) 160

2) (Unifor-CE) A aresta da base de uma piramide regular hexagonal mede 4 cm. Qual é o volume dessa piramide se sua altura mede 6 raiz de 3cm?

a) 432 cm³

b) 392 cm³

c) 286 cm³

d) 144 cm³

e) 132 cm³

3) (UF-SE) Uma piramide regular de base quadrada é tal que o apótema da base mede 7 cm. Se o apótema da piramide mede 25 cm, o seu volume, em centimetros cúbicos, é:

a) 586

b) 768

c) 864

d) 1472

e) 1568

GABARITO: 1) - A; 2) - D; 3) - E