Videoaula - sistemas lineares

Questões do Enem

( ENEM 2000) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros
roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X E Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número de esperado de carros roubados da marca Y é:
A) 20
B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

- Conhecimentos Necessários:

-Porcentagem;

- Sistemas de equações.

- Considerações Importantes:

- Interprete as informações do enunciado:

O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y : x= 2y

As Marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados: X+Y= 60% de 150

- um sistema de equação de 1° grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Para encontrarmos o par ordenado da solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução. Esses dois métodos são: Substituição e adição.

RESOLUÇÃO:

calculando o valor de 60% de 150, obtemos 90:

pelo método da substituição, colocamos o valor de x da 1ª equação que é 2y no lugar de "x" da 2ª equação:
2y+y=90
3y=90
y=30
Resposta: B

Questões de vestibulares

1)(UFSC) Determine o valor de m para que o sistema admita infinitas soluções:

2) (FGV-SP) O sistema abaixo é:

a) determinado.

b) impossivel.

c) determinado e admite como solução (1,1,1)

d) indeterminado.

e) n.d.a

3) (Fuvest- SP) O sistema linear abaixo é determinado para:

a) todo m real.

b) nenhum m real.

c) m = 1

d) m = -1

e) m = 0

resposta:

1) 2 2) d 3) d

Regra de Cramer

A regra de cramer é uma maneira de se resolver um sistema linear, mas só poderar se utilizada na resolução de sistema que o numero de equação e o numero de incognitas forem iguais.

Portanto, resolvemos um sitema linear de n equações e n incognitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sitema e depois substituimos os teros independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de cramer que diz:

x1 = D1/D

X2 = D2/D

X3 = D3/D ..... Xn = Xn/D

Veja no exemplo abaixo de como explicar a regra de cramer:
Dado o sistema linear acima para resolve-lo podemos utilizar da regra de cramer, pois ele possui três equações e três incognitas, ou seja, o numero de incognita é igual ao numero de equações.
Devemos encontrar a matriz incompleta desse sitema linear que será chamada de A.

Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.

Agora devemos substituir os termos independentes na primeira coluna da matriz A. Formando assim uma segunda matriz que será representado por Ax.
Agora calculamos o seu representante representado por Dx:

Agora substituims os temos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.

Agora calculamos o seu determinante Dy:
Substituimos os termos independentes do sistema na terceira colna da matriz incompleta formaresmos a matriz Az.
Agora calculamos o seu determinante representado por Dz:

Depois de ter substituido todas as colnas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em pratica a regra de Cramer.

A incognita X = Dx/D = 15/15 = 1

A incognita Y = Dy/ D = 30 /15 = 2

A incognita Z = Dz/D = 45/15 = 3

Portanto, o conjunto solução desse sistema será S = {1,2,3}

VIDEOAULA - REGRA DE CRAMER

Sistemas Lineares

Dominamos o conceito de matrizes e determinantes, podemos aplicar esse conhecimento para classificar e resolver os sitemas lineres.

Um sitema linear pode ser fomrado para responder varias quesões, mesmo as mais cotidianas.


Veja o exemplo a seguir:

Num estacionamento, há carros e motocicleatas, num total de 70 veiculos. A a soma das rodas desses veiculos é 180. Quantos são os carros e quantas são as motocicletas?

A partir do enunciado, podemos escrever um sistema linerar.

Assim, designando por x as motocicletas e por y os carros, obtemos a seguinte equação:

(I) x + y = 70


Como as motocilcetas tem duas rodas e os carros têm 4, podemos escrever a equação:

(II) 2x + 4y = 180


A solução desse sitema irá nos fornecer o numero de automoveis e de bicicletas no stacionamento.


1. Definição


Entendemos por sistema linear um conjunto de equação lineares reunidas com o objetivo de se obterem solução comuns a todas as equação.


2. Equação linear

Chamamos de equações lineares as equações do 1º grau que apresenta uma forma:

b é o termo idependente da equação.


Exemplo:Quando uma equação linear apresenta o termo independente igual a 0, disemos que se trata de uma equação linear homogenea. Exemplo:

2x + y - z = 0


3. Soluçao de uma equação linear


Dada um equação linear com n incognitas:

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b,

Temos que sua solução é a sequencia de numeros reais (k1, k2, ..., kn) que, colocados correspondentemente no lugar de x1, x2, ...,xn, tornam verdadeira a igualdade.


Quando a equação linear for homogenea então ela admitirá pelo menos a solução (0,0, ...,0), chamada de soluçõ trivial.

Classificação de um sistema linear:
Todo o sistema linear é classificado de acordo com o numero de solução apresentadas por ele.

SPD - sistema possivel e determinado - possui apenas uma solução
SPI - sitema possivel e indeterminado - possui solução infinitas
SI - sitema impossivel - não possui solução