CONE

Considere um plano α, um circulo de centro O e raio R contido em α e um ponto V fora dele:

Chamamos cone circular o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e outra no circulo.

Todo segmento que passa por V e tem extremidade na circunferência da base é denominado geratriz do cone, e o segmento que une o vértice V ao centro O da base é chamado eixo do cone. A distância de V ao plano α é a altura h do cone.

ELEMENTOS DO CONE

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

• Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
• Vértice: O vértice do cone é o ponto P.
• Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
• Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
• Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base.
• Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
• Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
• Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

CLASSIFICAÇÃO

Os cones podem ser divididos em:

• Reto
• Oblíquo
• Equilátero

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

1. Área da base

Por ser uma circunferência, a área da base de um cone é dada pela seguinte expressão:

A(base) = pi.r²

2. Área da lateral

A área lateral do cone é dada pela seguinte expressão:

A(lateral) = pi.r.g

3. Área total

É dada somando-se a área lateral e a área da base.

A(total) = A(lateral) + A(base)

A(total) = pi.r(g+r)

CONE EQUILATERO

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Área da base

A(base) = pi.r²

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)² = h² + r², logo h² = 4r² − r² = 3r², assim:

h = R

O volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área:

V = (1/3) pi r³

Area lateral

A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²

Area total

A(total) = 3.pi.r²

QUESTÕES VESTIBULARES

1) (UE-CE) Um cone circular reto de altura 3 raiz de 2 tem volume igual a 18 raiz de 2 pi cm³. O raio da base esse cone, em centímetros, mede:

a) 2

b) 2 raiz 2

c) 3

d) 3 raiz e 2

2) (Unifor-CE) Em um cone reto, a área da base é 9 pi cm² e a geratriz mede 3 raiz de 10 cm. O volume desse cone, em centímetros cúbicos, é:

a) 27 pi

b) 36 pi

c) 48 pi

d) 54 pi

e) 81 pi

3) (UF-S) Um copo de papel, em forma de cone circular reto, tem em seu interior 200 ml de chá-mate, ocupando 2/3 de sua altura, conforme mostra a figura abaixo.

A capacidade desse copo, em mililitros, é:

a)600

b)625

c)650

d)675

e)700