DETERMINANTES

DEFINIÇÃO E REGRAS PRATICAS

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se determinante da matriz A e se indica por det A, o numero obtido a partir de operação entre elementos de A, de modo que:

1º Se A é de ordem n = 1, então o det A é o único elemento de A:

A = (3) "det A = 3 B = (-8) "det B = -8

2° Se A é e ordem n = 2, então o det A dado pela diferença entre o produto dos elmentos da diagonal principal de A e o produtos dos elementos da diagonal secundaria:

3° Se A é de ordem n = 3, utilizamos o seguinte procedimento para obter o valor e A:

• copiamos ao lado da matriz A as sua duas primeiras colunas;
• multiplicamos os elementos da diagonal principal de A e m seguida multiplicamos separada mente os elementos das outras diagonais seguindo a diagonal principal;
• multiplicamos os elementos da diagonal secundaria trocano o sinal do resultado obtido e fazendo o mesmo nas outras diagonais seguida da secundaria;
• somamos todos os produtos obtidos nos itens b e c;

Esse procedimento é conhecido como "Regra e Sarrus";

Exemplo:

COFATOR

A formula definida:

Exemplo:

Sendo a matriz ao lado, eliminando-se a 1ª linha e a 3ª coluna.

obtemos:

QUESTÕES VESTIBULARES

1) (Unifor -CE) Considere a matriz A, de ordem 3, na qual os elementos são dados por: a(ij) = i+j-1.
O determinante dessa matriz é:
a) -7
b) -5
c) -3
d) -1
e) 0

MATRIZES

Quando abrimos jornais revistas, encontramo, com frequência informações numéricas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas. Essas tabelas serão chamadas em matemática, de matrizes.

Dizemos, então, que uma matriz m×n é uma tabela de m.n de números dispostos em m linhas (filas horizontais) em n colunas (filas verticais). Vejamos:

, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna).

, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas).

,matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas).

REPRESENTAÇÃO GENÉRICA UMA MATRIZ

Podemos representar genericamente uma matriz A do tipo m x na seguinte maneira:

Como essa representação é muito extensa, podemos representar assim: A= a(ij)mxn

Numa matriz quadrada A d ordem n, os elmntos A(ij) tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, os elementos A(ij) tais que i+j = n+1 formam a diagonal secundaria.

Exemplo:

MATRIZES ESPECIAIS

Matriz quadrada: é uma matriz que possui o numero linhas igual a de coluna;

Matriz nula: é uma matriz cujo os elementos são todos iguais a zero;

Matriz identidade: é uma matriz que possui a diagonal principal iguais a 1 e os demais números iguais a 0;

MATRIZES TRANSPOSTAS

Chama-se transposta da matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definindo a transposta da matriz A como a matriz:

A^t = [a(j,i)]

Obs: a transposta da transposta da matriz é a propria matriz

(A^t)^t = A

ADIÇÃO DE MATRIZES

Dadas duas matrizes, A = [a(ij)] e B = [b(ij)], a matriz soma A+B é a matriz C = [c(ij)]m x n, em que C(ij) = a(ij) + b(ij) para todo i todo j.

Exemplo:

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Uma matriz só poderá ser multiplicar com outra, se o numero de coluna da matriz A for o mesmo numero de linha da matriz B:

Assim:

Observe que no resultado, o numero de linha da matriz A e o numero de coluna da matriz B será os numero de linha e coluna do produto.

ESFERA

Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.

A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido.

Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

O volume de uma esfera é dada por:

V(esfera) = 4/3.pi.r²

A área da esfera é dada por:

A(esfera) = 4.pi.r²

SECÇÃO DE UMA ESFERA

OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.

Sendo OO’ = d, temos:

R² = d²+(R')²

CONE

Considere um plano α, um circulo de centro O e raio R contido em α e um ponto V fora dele:

Chamamos cone circular o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e outra no circulo.

Todo segmento que passa por V e tem extremidade na circunferência da base é denominado geratriz do cone, e o segmento que une o vértice V ao centro O da base é chamado eixo do cone. A distância de V ao plano α é a altura h do cone.

ELEMENTOS DO CONE

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

• Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
• Vértice: O vértice do cone é o ponto P.
• Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
• Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
• Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base.
• Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
• Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
• Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

CLASSIFICAÇÃO

Os cones podem ser divididos em:

• Reto
• Oblíquo
• Equilátero

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

1. Área da base

Por ser uma circunferência, a área da base de um cone é dada pela seguinte expressão:

A(base) = pi.r²

2. Área da lateral

A área lateral do cone é dada pela seguinte expressão:

A(lateral) = pi.r.g

3. Área total

É dada somando-se a área lateral e a área da base.

A(total) = A(lateral) + A(base)

A(total) = pi.r(g+r)

CONE EQUILATERO

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Área da base

A(base) = pi.r²

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)² = h² + r², logo h² = 4r² − r² = 3r², assim:

h = R

O volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área:

V = (1/3) pi r³

Area lateral

A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²

Area total

A(total) = 3.pi.r²

QUESTÕES VESTIBULARES

1) (UE-CE) Um cone circular reto de altura 3 raiz de 2 tem volume igual a 18 raiz de 2 pi cm³. O raio da base esse cone, em centímetros, mede:

a) 2

b) 2 raiz 2

c) 3

d) 3 raiz e 2

2) (Unifor-CE) Em um cone reto, a área da base é 9 pi cm² e a geratriz mede 3 raiz de 10 cm. O volume desse cone, em centímetros cúbicos, é:

a) 27 pi

b) 36 pi

c) 48 pi

d) 54 pi

e) 81 pi

3) (UF-S) Um copo de papel, em forma de cone circular reto, tem em seu interior 200 ml de chá-mate, ocupando 2/3 de sua altura, conforme mostra a figura abaixo.

A capacidade desse copo, em mililitros, é:

a)600

b)625

c)650

d)675

e)700

CILINDRO

O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

Cilindro Circular
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.

Cilindro circular reto

No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.

Cilindro equilátero

O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro equilátero. No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.

OBJETOS GEOMÉTRICOS EM UM "CILINDRO"

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:

1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Área de um cilindro

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = A(base).h ou se a base do for um circulo r; V = pi r².h

Área lateral e total de um cilindro

A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.

A(total) = A(lateral) + 2 A(base)

A(total) = 2 pi r h + 2pi r²

A(total) = 2 pi r(h+r)

PIRÂMIDE

Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados do polígono da base.

Os segmentos AV, BV e CV são as arestas laterais da pirâmide.
Os pontos A, B, C e V são os vértices.
Os triângulos VAB,VBC e VCA são as faces laterais.
O triângulo ABC é outra face da pirâmide e constitui a base.
A distância do ponto V ao centro da base constitui a altura da pirâmide.

CURIOSIDADE: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

ELEMENTOS DA PRÂMIDE

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
7. Apótema: É a altura de cada face lateral.
8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Altura, apótema da base e apótema da pirâmide

h: altura da pirâmide
m’: apótema da pirâmide
m: apótema da base

Pelo teorema de Pitágoras temos:
m’² = h² + m²

Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:

A(r) = P.a /2

onde P: perímetro do polígono e a: apótema do polígono.

Área lateral

É a soma de todas as áreas laterais.

Área total
Soma da área lateral com a área da base.

A_t = A_l + A_b

Volume
O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:

V = 1/3.A(b).h

onde A(b): área da base (depende do polígono) e h: altura da pirâmide.

Observação: O tetraedro regular é uma pirâmide regular que apresenta as quatro faces congruentes e as seis arestas também congruentes.

QUESTÕES DE VESTIBULARES

1) (PUC-RS) Uma piramide quadrangular regular com 12 cm e altura e 10 cm de aresta da base tem área total, em centímetros quadrados, igual a:

a) 360

b) 280

c) 260

d) 180

e) 160

2) (Unifor-CE) A aresta da base de uma piramide regular hexagonal mede 4 cm. Qual é o volume dessa piramide se sua altura mede 6 raiz de 3cm?

a) 432 cm³

b) 392 cm³

c) 286 cm³

d) 144 cm³

e) 132 cm³

3) (UF-SE) Uma piramide regular de base quadrada é tal que o apótema da base mede 7 cm. Se o apótema da piramide mede 25 cm, o seu volume, em centimetros cúbicos, é:

a) 586

b) 768

c) 864

d) 1472

e) 1568

GABARITO: 1) - A; 2) - D; 3) - E

PRISMA

Depois da conceituação de Geometria Espacial, vamos nos aprofundar mais em cada um dos Sólidos Geométricos. Começando pelo Prisma.

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma reto	Aspectos comuns	Prisma oblíquo
	Bases são regiões poligonais congruentes A altura é a distância entre as bases Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas Faces laterais são paralelogramos

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela, tendo assim a existência de variados tipos de prismas:

Prisma triangular	Prisma quadrangular	Prisma pentagonal	Prisma hexagonal
Base:Triângulo	Base:Quadrado	Base:Pentágono	Base:Hexágono

SEÇÕES E UM PRISMA

• Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.
• Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.
• Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.
• 
  
• 

1. O volume de um prisma é dado por:

V(prisma) = A(base).h

2. A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral como:

A(lateral) = n A(Face Lateral)

Uma forma alternativa para obter a área lateral de um prisma reto tendo como base um polígono regular de n lados é tomar P como o perímetro desse polígono e h como a altura do prisma.

A(lateral) = P.h

3. A área total do prisma é dado por:

A(total) = A(lateral) + 2.A(base)